Floer Homology Language Note 8 Discreteness of Language​ ​

13/07/2018 23:47
Floer Homology Language 
 
TANAKA Akio 
 
     
 
​
 
 
 
Note 8 
 
 
 
Discreteness of Language​
 
​
 
​
 
Flux Conjecture​
 
(Lalonde-McDuff-Polterovich 1998)​
 
Image of Flux homomorphism is discrete at H1(M; R).​
 
​
 
Lemma1​
 
Next two are equivalent.​
 
(i) Flux conjecture is correct.​
 
(ii) All the complete symplectic homeomorphism is C1 topological closed at symplectic 
 
transformation group.​
 
​
 
Lemma 2​
 
Next two are equivalent.​
 
(1) Flux conjecture is correct.​
 
(ii) Diagonal set M
M×M is stable by the next definition.​
 
​
 
Definition​
 
L is stable at the next condition.​
 
(i) There exist differential 1 form u1, u2 over L that is sufficiently small.​
 
(ii) When sup|u1|, sup|u2| is Lu1
Lu2 for u1, u2 ,there existsf that satisfies u1 - u2  = df .​
 
​
 
Explanation​
 
0 <For conjecture and lemmas>​
 
​
 
  is de Rham cohomology class.​
 
​
 
Symplectic manifold     (M, w)​
 
Group's connected component of complete homeomorphism       Ham (M, w)​
 
Flux isomorphism     Flux: π1(Ham(M, w) )→ R​
 
Road of Ham (M, w)     γ(t)​
 
δγ / δt = Xu(t) that is defined bu closed differential form Utover M​
 
​
 
Explanation​
 
1​
 
Symplectic manifold     M​
 
n-dimensional submanifold      L 
M​
 
L that satisfies next condition is called special Lagrangian submanifold.​
 
Ω's restriction to L is L's volume. ​
 
​
 
2​
 
M's special Lagrangian submanifold     L​
 
Flat complex line bundle     L​
 
LAGsp(M)     (L, L)​
 
​
 
3​
 
Complex manifold      M†​
 
p 
M†​
 
Sheaf over M†     fp​
 
fp (U) = C ( p
U)​
 
fp (U) = 0 ( p 
U)​
 
​
 
4​
 
Special Lagrangian fiber bundle     π : M → N​
 
Complementary dimension 2's submanifold     S(N) 
N​
 
π-1 (p) = LP​
 
Pair     (Lp, Lp)​
 
p
N-S(N)​
 
Lp      Complex flat line bundle​
 
All the pair (Lp, Lp) s is M0† .​
 
​
 
5​
 
(Geometric mirror symmetry conjecture Strominger-Yau-Zaslow 1996)​
 
Mirror of M is diffeomorphic with compactification of M0† .​
 
​
 
6 ​
 
Pairs of Lagrangian submanifold of M and flat U(1) over the submanifold     (L1, L1), (L2, L2)​
 
(L1, L1) 
 (L2, L2) means the next.​
 
There exists complete symplectic homeomorphism that is ψ(L2 ) = L2​
 
and​
 
ψ*L2 is isomorphic with L1.​
 
​
 
​
 
​
 
Impression​
 
Discreteness of language is possible by Flux conjecture 1998.​
 
​
 
​
 
​
 
[References]​
 
Quantization of Language / Floer Homology Language / Note 7 / June 24, 2009​
 
For WITTGENSTEIN Ludwig / Position of Language / Tokyo December 10, 2005​
 
​
 
​
 
​
 
To be continued​
 
Tokyo July 19, 2009​
 
Sekinan Research Field of Language​

 

Tags:

Back